https://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=15740
前提知識
解説
テクニックとして、ある文字列の任意の2区間の大小関係は前計算しておけば、O(1)で判定することができる。
Suffix Array/LCPでそれが実現できる。
これを持っていないと以下の方針で解くのは難しい。
簡単な別解を補足で載せますが、ここは本番回答。
Nを文字列長としておく。
Kで場合分けして解く。
K=1の時はf(X)を計算可能なので計算しよう。
全部でO(N2)で計算できる。
2≦Kの場合は、性質を見抜く必要がある。
(1) 1≦X≦Nの場合は、Xを大きくしていくと、Q(X)も広義単調増加していく。
(2) そこからXを大きくしていくと、Q(X)の値は変わらず、区間が伸びていく。
(3) 区間が文字列の右端に達したとき、Q(X)が広義単調減少していく。
(1)はN通りしかないし、(2)は区間を伸ばせるだけ伸ばすので1通りだけ考えればよく、
(3)はQ(X)の変化点だけを計算すると高々N通りしかない。
どのパートにおいても、O(N2)で計算可能なので、これをまとめると答え。
#ifdef _MSC_VER inline unsigned int __builtin_clz(unsigned int x) { unsigned long r; _BitScanReverse(&r, x); return 31 - r; } #endif // _MSC_VER template<class V> struct SparseTable { // [L,R) const V def = 0; inline V comp(V a, V b) { return min(a, b); } int n; vector<V> a, b[22]; inline int __lg(int x) { return 32 - 1 - __builtin_clz(x); } void init(vector<V> v) { int nn = v.size(); n = 1; while (n < nn) n *= 2; a.resize(n); rep(i, 0, 22) b[i].resize(n); rep(i, 0, nn) a[i] = v[i]; int d = 1 << __lg(n - 1), e = d << 1; for (int h = 0, f; (f = 1 << h) <= d; ++h) { for (int i = f, r = f << 1; i < e; i += r) { b[h][i - 1] = a[i - 1]; for (int j = i - 2; j >= i - f; --j) b[h][j] = comp(b[h][j + 1], a[j]); b[h][i] = a[i]; for (int j = i + 1; j < i + f; ++j) b[h][j] = comp(b[h][j - 1], a[j]); } } } V get(int L, int R) { assert(0 <= L && L <= R); if (L == R)return def; R--; if (L == R)return a[L]; int h = __lg(L ^ R); return comp(b[h][L], b[h][R]); } }; struct SuffixArraySAIS { vector<int> sa, lcp, rank; SparseTable<int> rmq; SuffixArraySAIS() {} SuffixArraySAIS(string str_) : str(str_) { init(str_); } SuffixArraySAIS(const vector<int>& S_, int A_SIZE_, bool lcp_flag = true) : S(S_), A_SIZE(A_SIZE_) { buildSA(); if (lcp_flag) { buildLCP(); buildRMQ(); } } void init(string str_) { str = str_; N = str.size() + 1; S = vector<int>(N, 0); for (int i = 0; i < N; i++) S[i] = str[i]; A_SIZE = 256; buildSA(); buildLCP(); buildRMQ(); } string str; vector<int> S; int A_SIZE; int N; vector<int> t, B; enum { STYPE, LTYPE }; inline bool is_lms(int i) { return i > 0 && t[i] == STYPE && t[i - 1] == LTYPE; } void bucket() { B = vector<int>(A_SIZE); for (int i = 0; i < N; i++) B[S[i]]++; for (int i = 0; i < A_SIZE - 1; i++) B[i + 1] += B[i]; } void induced_sort() { bucket(); for (int i = 0; i < N; i++) { int j = sa[i] - 1; if (j >= 0 && S[j] >= S[j + 1]) sa[B[S[j] - 1]++] = j; } bucket(); for (int i = N; i--; ) { int j = sa[i] - 1; if (j >= 0 && S[j] <= S[j + 1]) sa[--B[S[j]]] = j; } } void buildSA() { N = S.size(); sa.assign(N, -1); if (N == 1) { sa[0] = 0; return; } t.assign(N, STYPE); for (int i = N - 1; i--;) if (S[i] > S[i + 1] || (S[i] == S[i + 1] && t[i + 1] == LTYPE)) t[i] = LTYPE; bucket(); for (int i = N; i--;) if (is_lms(i)) sa[--B[S[i]]] = i; induced_sort(); int N1 = 0; for (int i = 0; i < N; i++) if (is_lms(sa[i])) sa[N1++] = sa[i]; fill(sa.begin() + N1, sa.end(), -1); int name = 0, prev = -1; for (int i = 0; i < N1; i++) { int cur = sa[i]; bool diff = (prev == -1); for (int j = 0; !diff; j++) { if (j > 0 && is_lms(cur + j)) break; if (S[cur + j] != S[prev + j]) diff = true; } if (diff) name++; sa[N1 + cur / 2] = name - 1; prev = cur; } vector<int> S1, sa1(N1); for (int i = N1; i < N; i++) if (sa[i] >= 0) S1.push_back(sa[i]); if (name == N1) for (int i = 0; i < N1; i++) sa1[S1[i]] = i; else sa1 = SuffixArraySAIS(S1, name, false).sa; N1 = 0; for (int i = 0; i < N; i++) if (is_lms(i)) S1[N1++] = i; for (int i = 0; i < N1; i++) sa1[i] = S1[sa1[i]]; fill(sa.begin(), sa.end(), -1); bucket(); for (int i = N1; i--;) { int j = sa1[i]; sa[--B[S[j]]] = j; } induced_sort(); } void buildLCP() { rank.resize(N); lcp.resize(N - 1); for (int i = 0; i < N; i++) rank[sa[i]] = i; int h = 0; for (int i = 0; i < N - 1; i++) { int j = sa[rank[i] - 1]; if (h > 0) h--; for (; j + h < N && i + h < N && S[j + h] == S[i + h]; h++); lcp[rank[i] - 1] = h; } } void buildRMQ() { rmq.init(lcp); } int common_prefix(int x, int y) { if (x == y) return N - 1 - x; if (y >= N - 1) return 0; if (rank[x] > rank[y]) swap(x, y); return rmq.get(rank[x], rank[y]); } int compare(int x, int xn, int y, int yn) { int l = common_prefix(x, y); if (l >= xn || l >= yn) return xn < yn ? -1 : xn == yn ? 0 : 1; return rank[x] < rank[y] ? -1 : x == y ? 0 : 1; } }; ll mo = 1; struct SubstringQueries { long long solve(string S, int k) { SuffixArraySAIS sa(S + S); int n = S.length(); rep(i, 0, 18) mo *= 10; if (k == 1) { ll res = 0; rep(len, 1, n + 1) { int top = 0; rep(i, 0, n - len + 1) { if (sa.compare(top, len, i, len) > 0) { top = i; } } res = (res + top) % mo; } return res; } ll res = 0; int pre = 0; rep(len, 1, n + 1) { int top = pre; rep(i, pre, n) { if (sa.compare(top, len, i, len) > 0) { top = i; } } res = (res + top) % mo; pre = top; } ll len = n; ll malen = 1LL * n * k; res = (res + 1LL * pre * (malen - len - pre)) % mo; len = pre; while (0 < pre) { // [0, pre) int mi = 0; rep(i, 0, pre) if (sa.compare(mi, n, i, n) >= 0) mi = i; res = (res + 1LL * mi * (pre - mi)) % mo; pre = mi; } return res; } };
簡単な別解
snukeさんのツイートにk=2,3の答えを求めたら、あとは等差数列とあり、なるほどとなった解法。
上の解法にもあるが、kが増えていくと、(2) そこからXを大きくしていくと、Q(X)の値は変わらず、区間が伸びていく。
の部分だけ伸びていく。
Q(X)はkの値によらず、kを1つ増やすと、この区間がNだけ増える。よって同じ分だけ増えてくので等差数列として考えられる。
なるほどすぎるな。
実装もSuffixArray/LCPがすでになされていればかなり簡潔。
struct SubstringQueries { ll mo = 1; SuffixArraySAIS sa; ll naive(string S) { int n = S.length(); sa.init(S); ll res = 0; rep(x, 1, n + 1) { int qx = 0; rep(i, 0, n - x + 1) { if (sa.compare(qx, x, i, x) > 0) { qx = i; } } res = (res + qx) % mo; } return res; } long long solve(string S, int k) { rep(i, 0, 18) mo *= 10; if (k <= 3) { string s = ""; rep(i, 0, k) s += S; return naive(s); } ll k2 = naive(S + S); ll k3 = naive(S + S + S); ll d = k3 - k2; return (k2 + d * (k - 2)) % mo; } };