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hamayanhamayan's blog

Coprime [yukicoder No.719]

https://yukicoder.me/problems/no/719

前提知識

解法

https://yukicoder.me/submissions/276962

bitDPを使って解く。
[2,N]の素数がn個、[2,sqrt(N)]の素数がm個あるとする。
dp[i][msk] := m~i番目までの素数を使って、0~m-1番目までの素数の使用状況がmskな場合の総和の最大値
m~i番目の素数を使った場合を先にbitDPで計算する。
この部分はO(n*2^m*logn*m)で計算できる。lognが付くのはforのループであるが、エラトステネスの篩的な計算量である。
 
次に配列fを用意する。
f[msk] := 0~m-1番目までの素数のみを使って作れる数の総和の最大値
重要なのが、dpでm~n-1番目は使ってしまったと考えるので、0~m-1番目だけの素数だけで総和を考える。
最初に1つの数だけでfを構成し、複数の数の和をO(3^N)の部分集合の列挙テクで計算する。
 
あとは、この2つから答えを導く。
dp[n][msk] + f[(1≪m)-1-msk]の最大値が答え。
(1≪m)-1-mskはmskの補集合である。

int N;
int dp[206][1<<11];
int f[1 << 11];
//---------------------------------------------------------------------------------------------------
void _main() {
    cin >> N;

    auto allpr = makePrimes(N);
    auto halfpr = makePrimes(sqrt(N) + 1);

    int n = allpr.size();
    int m = halfpr.size();

    rep(i, m, n) rep(msk, 0, 1 << m) {
        for (int j = 1; j * allpr[i] <= N; j++) {
            int num = j * allpr[i];
            int ms = 0;
            rep(k, 0, m) if (num % halfpr[k] == 0) ms += 1 << k;
            if ((msk & ms) == 0) chmax(dp[i + 1][msk + ms], dp[i][msk] + num);
        }
    }

    rep(i, 2, N + 1) {
        int ms = 0;
        int ok = 1;
        rep(j, 0, n) {
            if (i % allpr[j] == 0) {
                if (j < m) ms += 1 << j;
                else ok = 0;
            }
        }
        if (ok) chmax(f[ms], i);
    }

    rep(msk, 0, 1 << m) for (int msk2 = msk; msk2 >= 0; msk2--) {
        msk2 &= msk;
        chmax(f[msk], f[msk2] + f[msk - msk2]);
    }

    int ans = 0;
    rep(msk, 0, 1 << m) chmax(ans, dp[n][msk] + f[(1 << m) - 1 - msk]);
    cout << ans << endl;
}