n! / m / m / m... [yukicoder No.575] - はまやんはまやんはまやん

前提知識

解法

https://yukicoder.me/submissions/208255

色々な数学的前提知識が必要であるので、上のサイトをまず見ておこう。
上の公式が分かればアルゴリズムは難しくない。
　
N!をMで何回割れるだけ割れるか
これはルジャンドルの定理のまんまなので、何回割れるかを計算しよう。
以後、k回割れると分かったとする。
　
後は、N!/(M^k)を計算してみるのだがどう考えても数が大きい。
誤差も大分許されるのでlog10を取って計算することにする。
log10(N!/(M^k)) = log10(N!) - k log10(M)となり、次の問題はlog10(N!)をどう計算するかである。
　
log10(N!)
今回は誤差が結構ゆるいのでN!を近似的に求めることにする。
これがスターリングの公式であり、これを使ってlog10(N!)を計算した。
しかし、Nが小さい場合は誤差が大きくなりすぎてダメだったので、愚直に計算できるところまではちゃんと計算する。
（kobaeさんのアイデアを参考にした）
　
あとは、求まったlog10(N!/(M^k))の桁数は、整数部を見れば分かるので、floor関数を使って整数部を取り出す。
小数部が数の部分になるので、pow(10,x)で復元して答え。

ll N, M;
//---------------------------------------------------------------------------------------------------
typedef long long ll;
map<ll,int> enumpr(ll n) {
	map<ll,int> V;
	for(ll i=2;i*i<=n;i++) while(n%i==0) V[i]++,n/=i;
	if(n>1) V[n]++;
	return V;
}
const double PI = 2 * acos(0.0), E = exp(1);
// スターリングの近似公式を使ってlog10(n!)を計算する
double log10facn(ll _n) {
    if (_n < 101010) {
        double res = 0;
        rep(i, 1, _n + 1) res += log10(i);
        return res;
    }
    double n = _n;
    return log10(2 * PI * N) / 2 + n * log10(n / E) + log10(1 + 1.0 / (12 * N));
}
// a!をbで最大何回割り切れるかを求める
ll legendreFormula(ll a, ll b) {
    auto e = enumpr(b);
    ll k = 1LL << 60;
    fore(p, e) {
        ll x = p.first;
        ll c = 0;
        while (x <= a) {
            c += a / x;
            x *= p.first;
        }
        k = min(k, c / (ll)p.second);
    }
    return k;
}
//---------------------------------------------------------------------------------------------------
void _main() {
    cin >> N >> M;

    ll k = legendreFormula(N, M);

    double a = log10facn(N);
    double b = log10(M);

    double n = a - b * k;

    ll d = floor(n);

    n -= d;
    
    double nn = pow(10, n);
    printf("%.10fe%lld\n", nn, d);
}